Problemas+de+Clase+;+Oscilaciones

//**1.) Fuerza constante en un OA amortiguado**//

Un OA amortiguado está sometido a una fuerza constante; inicialmente se encuentra en reposo y equilibrio. Calcula la posición en funcion del tiempo. Comprueba que la solución estacionaria es constante y que el resultado se puede deducir de la función respuesta para: math \omega=0 math

//**2.) Detener el movimiento de un oscilador**//.

Un oscilador armónico sin amortiguación sobre el que no actúa ninguna fuerza exterior está, en el instante inicial, en reposo, y tiene una posición x_0. Queremos detener completamente a ese oscilador en el punto de equilibrio (x=0) la primera vez que pase por él. ¿Qué fuerza exterior f(t) deberíamos aplicar?

Solución: Antes de intentar resolver el problema, vamos a llamarlo "matemáticamente", piensa en qué fuerza ejercerías para detener un móvil "en seco". Tendría que ser una fuerza repentina que produciría una discontinuidad en la velocidad.

La ley del movimiento del oscilador sin ninguna fuerza exterior viene dada por la SGH: math x(t)=C_1 \sin(\omega_0 t)+C_2 \cos(\omega_0 t) math sustituyendo las c.i. math x(0)=x_0 \,\,\,\,\, \dot{x}(0)=0 math obtengo math x(t)=x_0 \cos(\omega_0 t) math Y la velocidad será: math \dot{x}(t_{1})=-w_{0}x_{0}sin(w_{0}t_{1}) math

El tiempo t_1 en el que el oscilador pasa por primera vez por el punto de equilibrio satisface: math x(t_1)=x_0 cos( \omega_0 t_1)=0 math

math t_1=\frac{\pi}{2 \omega_0} math en ese instante tendrá una velocidad. math \dot{x}=-x_0 \omega_0 math En ese instante podemos darle un golpe que cancele esa velocidad. Es decir, con un impulso: math I=x_0 \omega_0 math

//**3.) Funciones respuesta de un sistema acoplado**//

Tenemos un sistema de dos osciladores acoplados de masa m como el de la Figura 1.9. del libro AL. Sobre cada uno de los osciladores actúa una fuerza f_1(t) y f_2(t). Calcula la función de respuesta de este sistema.

Solucion:

x_1 y x_2 son las distancias de los osciladores respecto de sus posiciones de equilibrio. Las ecuaciones de movimiento son: math m\ddot{x_1}&=&-k x_1- k(x_1-x_2)+f_1(t) math math m\ddot{x_2}&=&-k x_2- k(x_2-x_1)+f_2(t) math

El movimiento de un sistema de osciladores acoplados es la superposición del movimiento de cada uno de sus modos normales. Los modos normales se pueden encontrar diagonalizando las ecuaciones de movimiento; en forma matricial math m\ddot{X}=-K X+F(t) math es decir math m \left[ \begin{array}{c} \ddot{x}_{1}(t) \\ \ddot{x}_{2}(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} -2k & -k \\ -k & -2k \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_1(t) \\ x_{2}(t) \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{c} f_{1}(t) \\ f_{2}(t) \end{array} \right] math

donde las f's son exponeciales complejas. Diagonalizando encontraremos que los modos normales implementan los cambios de variable math x_{p}=x_1+x_2 \,\,\,\,\, f_{p}=f_1+f_2 math math x_{i}=x_1-x_2 \,\,\,\,\, f_{i}=f_1-f_2 math y simplifican el sistema en dos osciladores desacoplados (que son los modos normales) math m\ddot{x_{p}}&=&-k x_p +f_{p}(t) math math m\ddot{x_{i}}&=&-3k x_i+ f_{i}(t) math De los que conocemos la función respuesta math R_p(\omega)=\frac{1}{\omega^2_p-\omega^2} \,\,\,\,\, \omega^2_p=\frac{k}{m} math math R_i(\omega)=\frac{1}{\omega^2_i-\omega^2} \,\,\,\,\, \omega^2_i=\frac{3k}{m} math en forma de matriz math \left[ \begin{array}{c} x_{p}(t) \\ x_{i}(t) \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} R_p(\omega) & 0\\ 0 & R_i(\omega) \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} f_{p}(t) \\ f_{i}(t) \end{array} \right] math deshaciendo los cambios variable

math \left[ \begin{array}{c} x_{1}(t) \\ x_{2}(t) \end{array} \right] = \frac{1}{2}\left[ \begin{array}{cc} R_p(\omega)+R_i(\omega) & R_p(\omega)-R_i(\omega) \\ R_p(\omega)-R_i(\omega) & R_p(\omega)+R_i(\omega) \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} f_{1}(t) \\ f_{2}(t) \end{array} \right] math

//**4.) Modelo de Drude de conducción en un metal.**//

a.) En la Lección 5 hablamos del Modelo de Lorentz de dispersión en un dieléctrico, que es un sistema aislante math m\ddot{x}=-\eta\dot{x}-kx+qEe^{i \omega t} (1) math Este modelo considera a los electrones partículas clásicas y supone que están atrapados por un potencial creado esencialmente por el núcleo.
 * ¿Que forma se supone que tiene el potencial?**

b.) En un metal, los electrones de conducción se pueden desplazar **libremente** por el sólido. Si le quisieras aplicar la ecuación (1) a un metal,
 * ¿Qué valor de k deberías elegir?** Recuerda que tendrías que conseguir que los electrones sean libres y no estén localizados por un potencial.

c.) La magnitud que nos interesa en los conductores no es tanto la posición de los electrones, sino la corriente math J=q n \dot{x}(t) math que vemos que está relacionada con la **velocidad** y no con la posición**.** Los metales responden con una corriente oscilante a un campo eléctrico oscilante. math J=\sigma(\omega)E math donde la constante sigma es la conductividad y n es la densidad de electrones libres en el metal

¿Te atreverías a formular un modelo (como el de Lorentz) de conductividad en metales?,