JaimePerezAparicioPropuesto2709

Cada elemento de superficie math d^2 S=dxdy math tiene una masa math d^2 m= d^2 S \sigma math donde sigma es la densidad superficial, pero se ha dicho que el sistema elástico no tenía masa, por tanto es 0.



Para ángulos pequeños se puede hacer la aproximación: math \alpha_x \approx sen(\alpha _x) \approx tan(\alpha _ x)=\frac {\phi (x,y,t) - \phi (x-dx,y,t)}{dx} math quedando que: math F_{rec} =T(( \frac {\phi (x+dx,y,t) - \phi (x,y,t)}{dx} - \frac {\phi(x,y,t) - \phi (x-dx,y,t)}{dx})+(\frac {\phi (x,y+dy,t) - \phi (x,y,t)}{dx}-\frac {\phi (x,y,t) - \phi (x,y-dy,t)}{dx})=T(\frac{\partial^2 \phi (x,y,y)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi (x,y,t)}{\partial y^2}) dxdy= \frac{\partial^2 \phi (x,y,t))}{\partial t^2} \sigma d^2 S math

Despejando: math \frac{T}{\sigma}(\frac{\partial^2 \phi (x,y,t)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi (x,y,t)}{\partial y^2})= \frac{\partial^2 \phi (x,y,t)}{\partial t^2} math

Como math \sigma=0 math entonces math \frac{\partial^2 \phi (x,y,t)}{\partial x^2} = - \frac{\partial^2 \phi (x,y,t)}{\partial y^2} math

math \phi =Ae^{ik_1 x} e^{ik_2 y} e^{i\omega t} \rightarrow -k_1^2 = k_2 ^2 \rightarrow k_1 = ik_2 \rightarrow \phi=A e^{-k_2 x} e^{ik_2 y} e^{iwt} math

math \varphi (x,y,t) = Re[\phi (x,y,t)] = Be^{-k_2 x}cos(\omega t)cos(k_2 y + \delta) math

Condiciones de contorno: math \phi (x,y,t)=0, (x,y)\in F, t\in R math F es la frontera de la región (la goma).