Problemas+de+clase+;+Ec+de+ondas.


 * 1.) Modelización de la oscilación de una cuerda de guitarra.**

Una cuerda tensa de longitud L y cuyos extremos permanecen fijos, se encuentra inicialmente en reposo y tiene la forma triangular: math \phi(x)=u_0 \frac{x}{x_0} \,\,\,\,\, x < x_0 math math \phi(x)=u_0 \frac{L-x}{L-x_0} \,\,\,\,\, x>x_0 math

x_0 cumple que 0<x_0<L y x_0 es una constante. Calcula la función de onda u(x,t).

Si la cuerda esta originalmente en reposo entonces math \psi(x)=0 math y por tanto math a_n=0 math por otro lado, math b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} \phi(x) \sin( k_n x) dx=\frac{2}{L} \frac{u_0}{x_0} \int_{0}^{x_0} x \sin( k_n x) dx+\frac{2}{L} \frac{u_0}{L-x_0} \int_{x_0}^{L} (L-x) \sin( k_n x) dx math las integrales se hacen por partes. math b_n=\frac{2u_0L^2}{\pi^2x_0(L-x_0)}\frac{\sin(\frac{n \pi x_0}{L})}{n^2} math
 * Solución:**

math u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \cos(\omega_n t) \sin(k_n x) math donde math k_n=\frac{n \pi}{L} \,\,\,\,\, \omega_n=\frac{c n \pi}{L} math i.) Los coeficientes decaen rápidamente a medida que crece la frecuencia del modo: math b_n \sim \frac{1}{n^2} math iii.) Los pesos son proporcionales a la excitación original de la cuerda u_0 ¿Por qué? ¿Tiene algo que ver con la linealidad de la ecuación?
 * comentarios:**

iv.) La energía almacenada en cada modo es la de un oscilador armónico con masa la de la cuerda, frecuencia, la del modo y amplitud b_n math E_n=\frac{1}{2} \rho L \omega^2_n b^2_n math no decae como una ley de potencias. ¿Cuanto vale la energia total? La energía total será el sumatorio desde n=1 a n=infinito de la energía de cada modo.


 * 2.) Configuración estática de una cuerda sometida a una fuerza puntual.**

Una cuerda tensa de longitud L y cuyos extremos permanecen fijos, se encuentra en equilibrio bajo la acción de una fuerza puntual de magnitud F aplicada en el punto x_0. Calcula la forma de la cuerda.

La ecuación de la estática de la cuerda es: math T \frac{\partial^2 u}{\partial^2 x}=-F(x); math Dividimos la cuerda en dos partes I.) (0<x<x_0) y II.) (x_0<x<L) en las que la fuerza aplicada es cero y por tanto la forma de la cuerda no tiene curvatura.
 * Solucion:**

I.) math u_{I}(x)=Ax+B math II.) math u_{II}(x)=Cx+D math que deben satisfacer las CC math u_{I}(0)=0 \,\,\,\,\, u_{II}(L)=0 math que implican B=0 y D=-CL la continuidad de la cuerda en el punto x_0 implica math u_{I}(x_0)=u_{II}(x_0) math que se traduce en math A x_0=C(x_0-L) math o math C=A\frac{x_0}{x_0-L} math Por otro lado, integrando la ecuación de la estática.

math T \int_{0}^{L}\frac{\partial^2 u}{\partial^2 x}=-\int_{0}^{L} F(x); math como la fuerza es distinta de cero solo en el punto x_0 math \frac{\partial u}{\partial x}|_{x=x+\epsilon}-\frac{\partial u}{\partial x}|_{x=x-\epsilon}=-\frac{F}{T} math

Se quiere preparar un cuerda en un estado inicial que corresponda a uno de sus modos math u(x,t=0)= u_0 \sin(k_n x) math ¿Que fuerza estática F(x) deberemos aplicar?
 * 3.****) Preparar una cuerda en un armónico.**

La ecuación de la estática de la cuerda es: math T \frac{\partial^2 u}{\partial^2 x}=-F(x); math
 * Solucion:**

derivando dos veces obtenemos: math F(x)=k_n^2 u_oT \sin( k_n x) math


 * 4.) Cuerda que parte de un equilibrio establecido por fuerzas estáticas**.

//En este problema practicamos a.) la relación entre fuerzas y posición de equilibrio// //y b.) la descomposición del movimiento en soluciones armónicas.//

Una cuerda tensa de longitud L y cuyos extremos permanecen fijos, se encuentra en equilibrio bajo la acción de dos fuerzas de magnitud igual F pero que actuan, con sentidos opuestos, en los puntos x=L/4 y x=3L/4. En t=0 estas fuerzas dejan de actuar instantaneamente. Determinar el estado de la cuerda para t>0.

En el problema 3 hemos aprendido cual es la respuesta estática a una fuerza puntual independiente del tiempo. En este caso tenemos dos fuerza puntuales estáticas luego odemos aplicar la linealidad. La solucion estatica a la fuerza F=F1+F2 sera una superposicion de las soluciones math u(x)=u_1(x)+u_2(x)=u(x,\frac{L}{4},F)+u(x,\frac{3L}{4},-F) math obtenidas como en el problema 3. En esta configuración estática inicial las fuerzas desaparecen instantaneamente. Es decir en t=0 tendre una condicion inicial math \phi(x)=u_1(x)+u_2(x); math y math \psi(x)=0; math luego los coeficientes serán: math b_n=b_n^{(1)}+ b_n^{(2)} math
 * Solución:**


 * 5.) Fuerzas tipo golpe actuando en una cuerda.**

//En este problema se recuerda y practica la relacion que existe entre// //las fuerzas tipo delta o "golpes" y la condicion inicial en la velocidad de la cuerda.//

Se tiene una cuerda tensa de longitud L con extremos que permanecen fijos. Inicialmente se encuentra en reposo en su posicion de equilibrio. En el instante t=0 se le aplican dos golpes ideales( = instantaneos y puntuales en x=L/4 y x=3L/4. Ambos golpes suministran un impulso I y tienen sentidos opuestos. Hallar el movimiento de la cuerda a partir de entonces.

La fuerza que actúa sobre la cuerda es: math F(x,t)=I\delta (t)[\delta (x-\frac{L}{4})-\delta (x-\frac{3L}{4})] math La ecuación de ondas a resolver es por tanto: math u_{tt}-c^2u_{xx}=\frac{I}{\rho }\delta (t)[\delta (x-\frac{L}{4})-\delta (x-\frac{3L}{4})] math
 * Solución:**

Descomponemos esta densidad de fuerza en la base de sin(k_nx):

math f_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\frac{I}{\rho }\delta (t)[\delta (x-\frac{L}{4})-\delta (x-\frac{3L}{4})]sin(k_nx)dx=\frac{2I}{L\rho}\delta(t)[sin(k_n\frac{L}{4})-sin(k_n\frac{3L}{4})] =\frac{2I}{L\rho}\delta(t)2cos(\frac{n\pi}{2})sin(\frac{-n\pi}{4}) math De todos los f_n, sólo son distintos de cero para n=2,6,10... es decir, llamando a n=4n-2

math f_{4n-2}=\frac{4I}{L\rho}\delta(t)(-1)^{n+1} math

Como la cuerda parte de reposo y equilibrio, el resto de modos no van a excitarse. (Sólo se excitan los modos antisimétricos en los que x=L/4 y x=3L/4 no son nodos).

La ecuación para la parte temporal será: math \frac{d^2T_{4n-2}}{dt^2}+w_1^2T_{4n-2}=f_{4n-2}=\frac{4I}{L\rho}\delta(t)(-1)^{n+1} math La fuerza para cada n, es tipo golpe, sabemos que para t>0 la ecuación de ondas es homogénea y la delta proporciona velocidad inicial (en este caso, el peso de la delta) mientras que la posición no cambia (equilibrio): En la solución de la homogénea sustituimos las condiciones iniciales descritas y el resultado será: math T_{4n-2}=\frac{4I}{L\rho}\frac{(-1)^{n+1}}{w_{4n-2}}sin(w_{4n-2}t) math Finalmente: math u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{4I}{L\rho}\frac{(-1)^{n+1}}{w_{4n-2}}sin(w_{4n-2}t)sin(k_{4n-2}x) math


 * 6.) Cuerda sometida a una fuerza que depende de la posición y el tiempo.**

Se tiene una cuerda de longitud L, densidad y tensión conocidos y cuyos extremos permanecen fijos. En un determinado instante de tiempo comienza a actuar sobre ella la densidad de fuerzas math f(x,t)=f_0\sin(\frac{\pi x}{L})\sin\left(\sqrt{\frac{T}{\rho}}\frac{3\pi}{L}t\ \right) math Hallar el desplazamiento transversal de los puntos de la cuerda a partir de entonces. Nota: La dependencia espacial coincide con la de un armónico.


 * Solución:**

Trabajando el la base math X_n=sin(k_nx); k_n=\frac{n\pi }{L} math

Sólo tenemos la primera componente de dicha base:

math u=\sum_{n=0}^{\infty }T_{n}X_n=T_1X_1 math

Con las relaciones habituales, puede escribirse: math f(x,t)=f_0sin(w_3t)sin(k_1x)=f_0sin(w_3t)X_1 math La parte temporal de la ecuación de ondas (T) cumple la ecuación: math \frac{d^2T_1}{dt^2}+w_1^2T_1=f_0sin(w_3t) math Cumple la ecuación de un oscilador armónico forzado con frecuencia diferente a la de resonancia cuya solución es: math T_1=\frac{f_0}{w_1^2-w_3^2}sin(w_3t)=\frac{-Lf_0}{2\pi}sin(\frac{3\pi}{L}t) math

y la solución (desplazamiento de los puntos de la cuerda): math u(x,t)=\frac{f_0}{w_1^2-w_3^2}sin(w_3t)sin(k_1x) math