JaimePerezAparicioEjercicioPropuestoClase13122012

La ecuación diferencial en derivadas parciales de la onda esferica sera: math T \Delta u = \rho \frac{\partial ^2 u}{\partial t ^2} math

donde T es una fuerza por unidad de superficie y math \rho math

es una densidad.


 * Una onda esférica solo depende de la coordenada r, luego puedes**
 * escribir el Laplaciano en esféricas y eliminar las derivadas en las otras variables**
 * ¿que ecuación te quedaría?**

Haciendo separacion de variables math u=R(r) \Theta (\theta) \Phi (\phi) \tau (t) math

multiplicando por r^2 y dividiendo por la solución, queda:

math T[\frac{1}{R(r)}\frac{d}{dr}(r^2 \frac{dR(r))}{dr}) + \frac{1}{sen(\theta) \Theta (\theta)} \frac{d}{d\theta}(sen(\theta)\frac{d\Theta (\theta)}{d\theta})+ \frac{1}{sen^2(\theta) \Phi (\phi)} \frac{d^2 \Phi (\phi)}{d\phi ^2}] = \frac{\rho r^2}{\tau (t)} \frac{d^2 \tau (t)}{dt^2} math

Agrupando términos: math [\frac{1}{R(r)}\frac{d}{dr}(r^2 \frac{dR(r))}{dr})-\frac{\rho r^2}{T\tau (t)} \frac{d^2 \tau (t)}{dt^2}] + \frac{1}{sen(\theta) \Theta (\theta)} \frac{d}{d\theta}(sen(\theta)\frac{d\Theta (\theta)}{d\theta})+ \frac{1}{sen^2(\theta) \Phi (\phi)} \frac{d^2 \Phi (\phi)}{d\phi ^2} = 0 math

Y ahora igualando cada parte a una constante: math \frac{1}{sen(\theta) \Theta (\theta)} \frac{d}{d\theta}(sen(\theta)\frac{d\Theta (\theta)}{d\theta}) = -m^2 math

math \frac{1}{sen^2(\theta) \Phi (\phi)} \frac{d^2 \Phi (\phi)}{d\phi ^2}=-n^2 math

donde m, n han de ser números enteros. Pero, si se supone una simetría esférica, m=n=0.

La parte radial queda: math \frac{d}{dr}(r^2 \frac{dR(r))}{dr})=\frac{\rho r^2}{T\tau (t)} \frac{d^2 \tau (t)}{dt^2} R(r) math

o, escrita de otra forma:

math \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2 \frac{dR(r))}{dr})=\frac{\rho}{T\tau (t)} \frac{d^2 \tau (t)}{dt^2} R(r) = \lambda (t)R(r) math


 * Incluso puedes evitar la separación de variables y simplemente decir que**
 * u=u(r,t) satisface la ecuacion:**

math u_{tt}=c^2(u_{rr}+\frac{2}{r}u_{r}) math

Ya, pero era por ser mas riguroso.


 * Cuando la tengas ¿Podrias plantear una discusion para resolverla?**
 * Por ejemplo, Crees que puede tener soluciones en forma de onda viajera esférica**

math u=u(r-ct) math

Tendran forma de onda viajera, porque si no no las ondas electromagnéticas no se transmitirían en el vacío. De echo la solución puede tener un sentido saliente del origen o entrante:

math u=u_1 (r-ct) + u_2 (r+ct) math


 * Pues lamento decirte que no. Y el argumento es muy sencillo. La energia tiene que distribuirse de forma uniforme en una esfera de radio r lo que quiere decir que u debe perder intensidad**
 * a medida que se va propagando y aumentando el radio. Ahora la pregunta seria. De que forma? es decir supongamos que la solucion es:**

math u=\frac{v(r-ct)}{f(r)} math ¿que forma funcional debe tener f?

Si uso la función que propones en la ecuación diferencial queda:

math \frac{\partial v}{\partial r} - \frac{v}{f} \frac {df}{dr} +r \frac{\partial ^2 v}{\partial r^2} - \frac{rv}{f} \frac{d^2 f}{dr^2} - \frac{2}{f^2} \frac{df}{dr} = -r\frac{\partial ^2 v}{\partial (ct)^2} math

Sin embargo no me cuadran las unidades, asi que no se donde me he equivocado. Quería hacer un analisis dimensional para ver que unidades tenía que tener f.

math \left\{\begin{matrix} \Delta u = -\lambda u\\ u(\delta V)=0 \end{matrix}\right. math

Suponiendo una solución u=X(x)Y(y)Z(z) se llega a la solución: math u_{n,m} = cos(x\sqrt {\lambda - k_{yn}^2 - k_{zm}^2} + \delta _{xnm})cos(k_{yn} y + \delta_{yn})cos(k_{zm} z + \delta_{zm}) math

que cumple la igualdad: math \lambda=|\overrightarrow{\bigtriangledown} u_{nm}|^2 math


 * Bueno, es un comienzo, pero la idea es**
 * que el resultado es independiente de la geometría y las coordenadas**
 * utilizadas.**


 * ¿Recuerdas la demostracion que hicimos de Laplaciano autoadjunto en d=3?**
 * Servia para cualquier sistema de coordenadas**
 * Eso te puede inspirar**