Propiedades+de+Operadores+V

1.) Definimos el operador K sobre el espacio de funciones normalizables en la recta real. math K f=\int_{-\infty}^{\infty} k(x,y) f(y) dy math

Comprueba que es lineal.

2.) Encuentra el adjunto del operador K 3.) Comprueba que K es autoadjunto si: math k^{*}(y,x)=k(x,y) math 4.) Calcula el operador lnverso math K^{-1} math 5.) Plantea la ecuación de autovalores del operador K. 6.) Supongamos que definimos el operador K como

math K f=\int_{0}^{L} k(x,y) f(y) dy math

donde

math k(x,y)=\sum_{i=1}^{m} (b_j(y))^{*} a_j(x) math Plantea su ecuación de autovalores math K\phi =\lambda \phi math

7.) Escribe la ecuación en la forma math (b_j,K\phi)=(b_j, \lambda \phi) math

8.) Demuestra que si definimos los elementos de matriz A como: math A_{jk}=\int_{0}^{L} (b_j(y))^{*} a_k(x) dx math y math \phi_j=\int_{0}^{L} (b_j(y))^{*} \phi(x) dx math Entonces los autovalores de K son los autovalores de A.