JaimePerezAparicioEjercicioPropuestoenclase22112012

En primer lugar, aplicando la fórmula de Rodrigues math \int_{-1}^{1}f(x)P_n (x)dx = \int_{-1}^{1}\frac{f(x)}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n dx math

Ahora, integrando por partes con math u=f, du=\frac{du}{dx} dx math

math dv=\frac{d^n}{dx^n} (x^2-1)^n dx, v=\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^2-1)^n math

math \int_{-1}^{1}\frac{f(x)}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n dx =\frac{1}{2^n n!} f\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^2-1)^n |_{x=-1}^{x=1} - \frac{1}{2^n n!} \int_{-1}^{1}\frac{df}{dx} \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^2-1)^n dx math

donde math f\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^2-1)^n |_{x=-1}^{x=1} = 0 math

Por tanto math \int_{-1}^{1}\frac{f(x)}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n dx = -\frac{1}{2^n n!} \int_{-1}^{1}\frac{df}{dx} \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}(x^2-1)^n dx math

Volviendo a integrar por partes math \int_{-1}^{1}\frac{f(x)}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n dx = \frac{1}{2^n n!} \int_{-1}^{1}\frac{d^2f}{dx^2} \frac{d^{n-2}}{dx^{n-2}}(x^2-1)^n dx math

Por tanto, math \int_{-1}^{1}\frac{f(x)}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n dx = \frac{(-1)^n}{2^n n!} \int_{-1}^{1} (x^2-1)^n \frac{d^n}{dx^n}f(x) math