Propiedades+de+Operadores+III

1.) Un operador lineal satisface la ecuación: math A^2=\mu A \,\,\, |\mu|<1 math Comprueba que no puede ser unitario.

2.) Comprueba que si A es el operador definido en el ejercicio anterior, entonces: math (I-A)^{-1}=I+\frac{A}{1-\mu} math

3.) Encuentra alguna matriz 3x3 que cumpla la condición del ejercicio 1: math A^2=\mu A \,\,\, |\mu|<1 math

4.) Si definimos el conmutador entre dos operadores como math [A,B]=AB-BA math

Si U es unitario, se satisface ? math [U,U^{\dag}]=0 math

5.) Conocemos el espectro de un unitario:

math U |v^{(j)}\rangle =\lambda^{(j)}|v^{(j)}\rangle math

Como sera el espectro de? math U^{\dag} math 6.) Conocemos el espectro de un autoadjunto A:

math A |v^{(j)}\rangle =\lambda^{(j)}|v^{(j)}\rangle math

y sabemos que conmuta con otro autoadjunto. math [A,B]=AB-BA math ¿Como seran los autovectores de B?

7.) ¿Que condición deben cumplir A y B para que se cumpla la igualdad?

math (A+B)(A-B)=A^2-B^2 math

8.) Comprueba la igualdad de Jacobi:

math [A,[B,C]]=[B,[A,C]]-[C,[A,B]] math

9.) Comprueba que dos matrices diagonales A y B conmutan.

10.) Comprueba que si A y B son matrices nxn tr(AB)=tr(BA)

11.) Comprueba que la traza de cualquier matriz que represente un momento angular en Mecánica Cuántica se anula. Completar.

12.) Comprueba que la traza es ciclica: tr(ABC)=tr(CAB)=tr(BCA)

13.) Comprueba que

math \rm{tr}(|a \rangle \langle b |)=\langle b | a\rangle math